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2022-2023 ICPC NERC (NEERC), North-Western Russia Regional Contest (Northern Subregionals) I IQ Game

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题目描述

https://codeforces.com/gym/104012/problem/I

简要题意：现在有 $n$ 个人围成一圈进行游戏，游戏规则为每一轮在 $n$ 个人中随机抽取一个人使其出局，如果抽到的人已经出局，则顺延到下一个人，现在游戏已经进行了 $n-k$ 轮，还剩下 $k$ 个人，告诉你 $k$ 个人的编号，现在游戏继续进行，如果 $s$ 出局则结束，问游戏期望进行多少轮

$n\le 10^9,k\le 200$

Solution

我们令还活着的人的前面的已经出局的人的个数为 $a_i$，这里需要注意这 $n$ 个人成环，容易得到 $\sum a_i=n$，同时第 $i$ 个人出局的概率为 $\frac{a_i}{n}$，为了去掉环的限制，我们将 $s$ 移到 $a_k$

答案需要求期望进行多少轮，我们将答案转换为求到达每个状态的概率之和，我们思考任意一个合法状态的形态如何，显然是将 $a_1$ 到 $a_k$ 分成若干段，每一段只有右端点还活着，那么我们利用这个进行 $dp$，我们令 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个，分成了 $j$ 段，这里记录 $j$ 是因为我们需要知道进行了多少轮，因为我们记录的概率是是所有操作序列的概率和，这东西是有顺序的，所以在合并的时候要乘上一个组合数，容易得到转移式 $f_{i,j}=\sum_{k<i}f_{k,j-1}\binom{i-j}{k-(j-1)}g_{k+1,i}$ 其中 $g_{i,j}$ 表示将 $[i,j]$ 合并的概率，这个东西可以用区间 $dp$ 计算

总时间复杂度 $O(k^3)$

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#include <iostream>
#include <numeric>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define ll long long
#define maxn 210
#define INF 1000000000
using namespace std;

const int p = 998244353;
inline int add(int x, int y) { return (x += y) >= p ? x - p : x; }
inline int mul(int x, int y) { return 1ll * x * y % p; }
inline int mul(initializer_list<int> lst) { int s = 1; for (auto t : lst) s = mul(s, t); return s; }
int pow_mod(int x, int n) {
    int s = 1;
    for (; n; n >>= 1, x = mul(x, x))
        if (n & 1) s = mul(s, x);
    return s;
}

int n, m, st, a[maxn], b[maxn], s[maxn];

int C[maxn][maxn];
void init_C(int n) {
    for (int i = 0; i <= n; ++i) C[i][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= i; ++j) C[i][j] = add(C[i - 1][j], C[i - 1][j - 1]);
}

int g[maxn][maxn], f[maxn][maxn];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    cin >> m >> n >> st; init_C(n); const int inv = pow_mod(m, p - 2); int k = 0; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> b[i];
        if (b[i] == st) k = i; 
    }
    if (n == 1) return cout << 1 << "\n", 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) a[i] = b[i] - b[i - 1]; a[1] = m - b[n] + b[1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = a[i];
    for (int i = 1; i <= n - k; ++i) a[i] = b[i + k];
    for (int i = n - k + 1; i <= n; ++i) a[i] = b[i - (n - k)];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = add(s[i - 1], a[i]); 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) g[i][i] = 1;
    for (int l = 2; l <= n; ++l)
        for (int i = 1, j = l; j <= n; ++i, ++j) 
            for (int k = i; k < j; ++k)
                g[i][j] = add(g[i][j], mul({ C[j - i - 1][k - i], add(s[k], p - s[i - 1]), inv, g[i][k], g[k + 1][j] }));
    f[0][0] = 1; int ans = 0; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= i; ++j)
            for (int k = 0; k < i; ++k) {
                if (k < (j - 1)) continue;
                int t = mul({ f[k][j - 1], C[i - j][k - (j - 1)], g[k + 1][i] });
                f[i][j] = add(f[i][j], mul({ f[k][j - 1], C[i - j][k - (j - 1)], g[k + 1][i] }));
                if (i == n) ans = add(ans, mul({ t, add(s[i], p - s[k]), inv }));
            }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = add(ans, f[n][i]);
    cout << add(ans, p - 1) << "\n";
    return 0;
}