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Luogu P7880 [Ynoi2006] rldcot

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P7880

简要题意：给定一棵以 $1$ 为根的 $n$ 个点的有根树，边有边权，现在有 $m$ 个询问，每次询问给出 $[l,r]$，求对于 $l\le i\le j\le r$，有多少不同的 $dep(lca(i,j))$，其中 $dep(x)$ 表示 $x$ 到根的路径权值和

$n\le 10^5,m\le 5\times 10^5$

Solution

首先对于询问我们肯定要离线下来，那么我们可以将问题转换为我们有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个有色区间，每次给定一个大区间求包含的子区间有多少种颜色

这是一个经典的问题，但是区间的数量太大，我们考虑减少区间的数量，对于一个点 $u$，我们考虑以它为 $lca$ 的区间中，如果存在 $[x,y],[y,z],[x,z],x<y<z$，那么 $[x,z]$ 一定是没用的，也就是说对于点 $u$ 的儿子 $v$ 的子树内的点 $w$，我们只需要找 $w$ 在 $u$ 的其它儿子的子树内的前驱和后继即可，这个东西和 $dsu$ 一样，总量是 $O(n\log n)$ 的

找到这些区间后直接离线处理即可，时间复杂度 $O(n\log^2 n+q\log n)$

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#define maxn 100010
#define maxm 500010
#define ll long long
#define lowbit(i) ((i) & (-i))
using namespace std;

int n, m;

int Bit[maxn];
void add(int i, int v) { while (i) Bit[i] += v, i -= lowbit(i); }
int get_sum(int i) {
    int s = 0;
    while (i <= n) s += Bit[i], i += lowbit(i);
    return s;
}

struct Edge {
    int to, next, w;
} e[maxn * 2]; int c1, head[maxn];
inline void add_edge(int u, int v, int w) {
    e[c1].to = v; e[c1].w = w;
    e[c1].next = head[u]; head[u] = c1++;
}

int in[maxn], out[maxn], bl[maxn], son[maxn], sz[maxn], c[maxn]; ll dep[maxn];
void pre(int u, int fa) {
    static int cnt = 0;
    in[u] = ++cnt; bl[cnt] = u; int Max = 0; sz[u] = 1; 
    for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to, w = e[i].w; if (v == fa) continue;
        dep[v] = dep[u] + w; pre(v, u); sz[u] += sz[v];
        if (sz[v] > Max) Max = sz[v], son[u] = v;
    } out[u] = cnt;
}

ll b[maxn]; int cnt;
void init_hash() {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = dep[i];
    sort(b + 1, b + n + 1); cnt = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) c[i] = lower_bound(b + 1, b + cnt + 1, dep[i]) - b;
}

set<int> S; 
void add(int u) {
    for (int i = in[u]; i <= out[u]; ++i) S.insert(bl[i]); 
}

void del(int u) {
    for (int i = in[u]; i <= out[u]; ++i) S.erase(bl[i]);
}

vector<pair<int, int>> A[maxn];
void dfs(int u, int fa) { 
    for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to; if (v == fa || v == son[u]) continue;
        dfs(v, u); del(v);
    }
    if (son[u]) dfs(son[u], u);
    for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to; if (v == fa || v == son[u]) continue;
        for (int j = in[v]; j <= out[v]; ++j) {
            auto It = S.upper_bound(bl[j]);
            if (It != S.end()) A[*It].emplace_back(bl[j], c[u]);
            if (It != S.begin()) {
                auto it = prev(It);
                A[bl[j]].emplace_back(*it, c[u]);
            }
        } add(v); 
    }
    A[u].emplace_back(u, c[u]); S.insert(u);
}

vector<pair<int, int>> B[maxn];
int ans[maxm], pos[maxn];

int main() { fill(head, head + maxn, -1); 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int x, y, z; cin >> x >> y >> z;
        add_edge(x, y, z); add_edge(y, x, z);
    } pre(1, 0); init_hash(); dfs(1, 0);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int x, y; cin >> x >> y;
        B[y].emplace_back(x, i); 
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (auto [l, c] : A[i]) 
            if (pos[c] < l) add(pos[c], -1), add(l, 1), pos[c] = l; 
        for (auto [l, id] : B[i]) ans[id] = get_sum(l); 
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) cout << ans[i] << "\n";
    return 0;
}