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Luogu P4240 毒瘤之神的考验

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P4240

简要题意：现在有 $T$ 次询问，每次询问给定 $n,m$ 求 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)$

$T\le 10^4,n,m\le 10^5$

Solution

我们根据 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\frac{(a,b)}{\varphi((a,b))}$，根据这个化简我们可以得到 $\sum_{T=1}^n\sum_{t|T}\frac{t}{\varphi(t)}\mu(\frac{T}{t})f(T,\lfloor\frac{n}{T}\rfloor)f(T,\lfloor\frac{m}{T}\rfloor)$，其中 $f(x,y)=\sum_{i=1}^y\varphi(ix)$，注意到所有合法的 $f(x,y)$ 都满足 $xy\le n$，那么总共只有 $O(n\log n)$ 个 $f(x,y)$，且可以 $O(n\log n)$ 预处理

但是只预处理 $f(x,y)$ 我们依次询问也只能做到 $O(n)$，不能通过此题

我们考虑预处理 $f(x,y)f(x,z)$ 的前缀和，我们只预处理 $f(x,y)f(x,z),y,z\le B$ 的前缀和，这一部分的时间复杂度大概是 $O(nB\log n)$ 的，那么在询问的时候我们考虑对于 $\lfloor\frac{n}{i}\rfloor>B$ 的 $i$ 暴力算，这样的 $i$ 只有 $\lfloor\frac{n}{B}\rfloor$ 个，求一次的时间复杂度为 $O(1)$，那么总的时间复杂度为 $O(nB\log n+T(\lfloor\frac{n}{B}\rfloor+\sqrt n)$，我们取 $B$ 为 $50$ 左右可以通过此题

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#include <iostream>
#include <vector>
#define maxn 100010
#define ll long long
using namespace std;

const int p = 998244353;
inline int add(int x, int y) { return (x += y) >= p ? x - p : x; }
inline int mul(int x, int y) { return 1ll * x * y % p; }
inline int add(initializer_list<int> lst) { int s = 0; for (auto t : lst) s = add(s, t); return s; }
inline int mul(initializer_list<int> lst) { int s = 1; for (auto t : lst) s = mul(s, t); return s; }
int pow_mod(int x, int n) {
    int s = 1;
    for (; n; n >>= 1, x = mul(x, x))
        if (n & 1) s = mul(s, x);
    return s;
}

int pri[maxn], cnt, phi[maxn], mu[maxn]; bool isp[maxn];
void init_isp(int n) {
    phi[1] = mu[1] = 1; 
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!isp[i]) pri[++cnt] = i, phi[i] = i - 1, mu[i] = p - 1;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * pri[j] <= n; ++j) {
            isp[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) {
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
            phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
            mu[i * pri[j]] = p - mu[i];
        }
    }
}

const int B = 50;
int f[maxn]; vector<int> g[maxn], pre[B + 1][B + 1];
void init(int n) {
    init_isp(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int t = mul(i, pow_mod(phi[i], p - 2));
        for (int j = i; j <= n; j += i)
            f[j] = add(f[j], mul(t, mu[j / i]));
    }
    //for (int i = 1; i <= n; ++i) sf[i] = add(sf[i - 1], f[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        g[i].resize(n / i + 1); 
        for (int j = 1; i * j <= n; ++j) 
            g[i][j] = add(g[i][j - 1], phi[i * j]);
    }
    for (int j = 1; j <= B; ++j)
        for (int k = j; k <= B; ++k) {
            pre[j][k].resize(n / k + 1);
            for (int i = 1; i <= n / k; ++i)
                pre[j][k][i] = add(pre[j][k][i - 1], mul({ f[i], g[i][j], g[i][k] }));
        }
}

int n, m;

void work() {
    cin >> n >> m; int ans = 0; if (n > m) swap(n, m); 
    for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
        r = min(n / (n / l), m / (m / l)); 
        if (m / l <= B) {
            ans = add({ ans, pre[n / l][m / l][r], p - pre[n / l][m / l][l - 1] });
        } else { 
            for (int i = l; i <= r; ++i) ans = add(ans, mul({ f[i], g[i][n / l], g[i][m / l] }));
        }
    } cout << ans << "\n";
}


int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    int T; cin >> T; init(100000);
    while (T--) work(); 
    return 0;
}