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National Taiwan University NCPC Preliminary 2021 E Identity Subset

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题目描述

https://codeforces.com/gym/103328/problem/E

简要题意：给定一个素数 $p$ 以及一个长度为 $p-1$ 的序列 $a_i$，求是否能从序列 $a_i$ 中选出若干个数，使得它们的乘积模 $p$ 等于 $1$

$p\le 10^5$

Solution

我们考虑求出 $p$ 的原根 $g$，然后我们将 $a_i$ 变成一个范围为 $[0,p-2]$ 的数，问题被转换成是否能选出若干个数出来使得它们的和是 $p-1$ 的倍数，我们可以直接上 $bitset$，时间复杂度 $O(\frac{p^2}{64})$

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <bitset>
#define maxn 100010
#define ll long long
using namespace std;

int p, n, a[maxn], b[maxn];

ll pow_mod(ll x, ll n) {
    ll s = 1;
    for (; n; n >>= 1, x = x * x % p)
        if (n & 1) s = s * x % p;
    return s; 
}

int get_g(int p) {
    int n = p - 1, tn = n; vector<int> vec;
    if (p == 2) return 1; 
    for (int p = 2; p * p <= tn; ++p) {
        if (tn % p) continue; vec.push_back(p);
        while (tn % p == 0) tn /= p; 
    } if (tn > 1) vec.push_back(tn);
    for (int i = 2; i < p; ++i) {
        bool ok = 1;
        for (auto t : vec)
            if (pow_mod(i, n / t) == 1) ok = 0;
        if (ok) return i; 
    } return -1;
}

bitset<maxn> f;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    cin >> p; n = p - 1; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i], a[i] %= p;
    int g = get_g(p); b[0] = -1; 
    for (int i = 0, t = 1; i < n; ++i) b[t] = i, t = 1ll * t * g % p;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = b[a[i]];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (a[i] == -1) continue;
        f |= f << a[i] | f >> n - a[i];
        f[a[i]] = 1; 
    } cout << (f[0] ? "Yes" : "No") << "\n";
    return 0;
}