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Luogu P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯(最小生成树)

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P1525

简要题意：给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，现在要求将这 $n$ 个点分成两个点集，一个点集的权值为点集内的点之间的边的权值的最大值，现在要求一种分法，使得两个点集的权值的最大值最小

$n\le 2\times 10^4,m\le 10^5$

Solution

我们考虑按照边权从大到小加入边，对于现在加入的边 $(u,v)$，如果 $u$ 和 $v$ 没有连通，那么我们将这条边加入，然后将 $u$ 和 $v$ 划分到不同集合，如果 $u$ 和 $v$ 已经连通，那么如果 $u$ 和 $v$ 在同一个集合，那么答案就是这条边的权值，否则什么都不做

我们发现这就是求最大生成树的过程，也就是说，最大生成树上相邻的两个点在不同集合，那么我们得到了划分方案，根据这个方案计算答案即可

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define maxn 20010
#define maxm 100010
using namespace std;

int n, m;

struct Edge {
    int fr, to, w;

    friend bool operator < (const Edge &u, const Edge &v) { return u.w > v.w; }
} e[maxm];

int fa[maxn]; 
void init_fa(int n) { for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i; }

int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }

vector<int> G[maxn]; int dep[maxn];
void dfs(int u, int fa) {
    for (auto v : G[u])
        if (v != fa) dep[v] = dep[u] + 1, dfs(v, u);
} 

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) cin >> e[i].fr >> e[i].to >> e[i].w;
    sort(e + 1, e + m + 1); init_fa(n); 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u = e[i].fr, v = e[i].to, fu = find(u), fv = find(v);
        if (fu == fv) continue; fa[fu] = fv;
        G[u].push_back(v); G[v].push_back(u); 
    } int ans = 0; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (!dep[i]) dep[i] = 1, dfs(i, 0);
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
        if ((dep[e[i].fr] ^ dep[e[i].to]) % 2 == 0) ans = max(ans, e[i].w);
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}