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2021CCPC网络赛 L Remove

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题目描述

https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=7111

简要题意：给定 $n$​ 和 $m$​ 个素数 $P$​，对于一个数 $x$​，每次可以选择一个 $p_i$​，将 $x$​ 变成 $x-x\bmod p_i$​，令 $f_i$​ 表示将 $i$​ 变成 $0$​ 的最小步数，求 $\sum_{i=1}^nf_i\times 23333^{n-i}\bmod 2^{64}$​

$n\le 2\times 10^6,|P|\le 10^5,T\le 15$

Solution

容易发现 $O(n\log n)$ 的算法是不能通过的

我们考虑对于 $x$​，$x$​ 能够成为决策点的条件是至少存在一个 $p\in P$​，且 $p|x$，另外能够注意到 $x$ 可以转移到的点为 $[x+1,x+p-1]$，其中 $p$ 是最大的整除 $x$，且属于给定素数集的素数

另外容易发现 $f_i$ 单调不降，能够发现 $dp$ 一定存在决策单调性，且每个决策点能转移到的点是自己后面一段区间，所以我们直接 $dp$​，同时维护当前决策点，当前决策点失效时暴力右移即可

时间复杂度 $O(n)$

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define maxn 2000010
#define maxm 100010
#define ull unsigned long long 
#define INF 1000000000
using namespace std;

int pri[maxn], cnt, a[maxn]; bool isp[maxn]; 
void init_isp(int n) {
    a[1] = 1; 
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!isp[i]) pri[++cnt] = i, a[i] = i;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * pri[j] <= n; ++j) {
            isp[i * pri[j]] = 1;
            a[i * pri[j]] = pri[j];
            if (i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
}

int n, m;
int p[maxm];
int g[maxn];

int f[maxn];
void work() {
    cin >> n >> m; g[0] = 0; 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) cin >> p[i], g[0] = max(g[0], p[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) g[i] = 0; 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) g[p[i]] = p[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) g[i] = max(g[a[i]], g[i / a[i]]);
    f[0] = 0; 
    for (int i = 1, j = 0; i <= n; ++i) {
        while (j < i && (!g[j] || f[j] == INF || j + g[j] - 1 < i)) ++j;
        f[i] = i == j ? INF : f[j] + 1; 
    }
    ull mul = 1, ans = 0; 
    for (int i = n; i; --i) {
        if (f[i] != INF) ans += mul * f[i];
        mul *= 23333;
    } cout << ans << "\n";
}       

int main() { 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    int T; cin >> T; init_isp(2000000);
    while (T--) work(); 
    return 0; 
}