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Luogu P7360 「JZOI-1」红包

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P7360

简要题意：求 $\prod_{i_1=1}^{n}\prod_{i_2=1}^n\cdots\prod_{i_k=1}^n[i_1,i_2,\cdots,i_k]\bmod 998244353$​​

$n\le 10^6,k\le 10^{100},T=1000$​

Solution

我们考虑单独算每个质数 $p$ 的贡献

我们注意到 $lcm=p^t$​ 太难计算，考虑换成 $p^t|lcm$ 的方式来计算

对于一个 $lcm=p^t$ 的 $k$ 元组，我们考虑分别算 $t$ 次贡献，每次贡献为 $p$​，那么我们可以这样计算贡献，令 $f_i(p)$ 表示 $p^i|[i_1,i_2,\cdots,i_k]$ 的 $k$ 元组个数，这样一个 $p$ 的贡献就是 $p^{\sum_{i=1}^{\log_pn}f_i(p)}$

容易得到 $f_i(p)=n^k-(n-\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor)^k$​， 这个整除启示我们进行数论分块

我们可以预处理出前缀 $i$ 的 $p^t$ 的乘积，然后就可以直接数论分块，另外对于 $k$ 我们直接对 $\varphi(\varphi(998244353))$ 取模即可

预处理 $O(n)$​，单次询问 $O(\sqrt n\log n)$​

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#define maxn 1000010
#define ll long long
using namespace std;

const int p = 998244353;
const int pp = 998244352;
const int ppp = 402653184;

ll pow_mod(ll x, ll n, int p = 998244353) {
    ll s = 1;
    for (; n; n >>= 1, x = x * x % p)
        if (n & 1) s = s * x % p;
    return s; 
}

int pri[maxn], cnt; bool isp[maxn]; ll mul[maxn], inv[maxn];
void init_isp(int n) {
    mul[0] = mul[1] = inv[0] = inv[1] = 1; 
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!isp[i]) pri[++cnt] = i, mul[i] = i, inv[i] = pow_mod(i, p - 2); 
        for (int j = 1; j <= cnt && i * pri[j] <= n; ++j) {
            isp[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) {
                mul[i * pri[j]] = mul[i];
                inv[i * pri[j]] = inv[i];
                break;
            } mul[i * pri[j]] = inv[i * pri[j]] = 1; 
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) mul[i] = mul[i] * mul[i - 1] % p, inv[i] = inv[i] * inv[i - 1] % p;
}

int n; ll k;
char s[maxn];

void work() {
    cin >> n >> s + 1; k = 0; 
    int m = strlen(s + 1); bool flag = 0; 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        k = k * 10 + s[i] - '0';
        if (k >= ppp) flag = 1, k %= ppp;
    } k += flag * ppp; ll ans = 1, nk = pow_mod(n, k, pp);
    for (int l = 1, r, i = 1; l <= n; l = r + 1) {
        r = n / (n / l); 
        ll t = nk - pow_mod(n - n / l, k, pp) + pp;
        ans = ans * pow_mod(mul[r] * inv[l - 1] % p, t) % p;
    } cout << ans << "\n";
}

int main() { 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    int T; cin >> T; init_isp(1000000);
    while (T--) work(); 
    return 0; 
}