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Luogu P6055 [RC-02] GCD

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P6055

简要题意：求 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}\sum_{q=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}[(i,j)=1][(p,q)=1]$

求 $n\le 2\times 10^9$

Solution

注意到后面的式子像是在枚举 $gcd$ 为 $j$ 的二元组 $(p,q)，我们按照这个思路化简式子

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n[(i,j)=1][(p,q)=j]\rightarrow\sum_{i=1}^n\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^n[(i,p,q)=1]$​​​，这个式子我们就很熟了

容易得到 $\sum_{d=1}^n\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor^3$，这个东西可以直接数论分块加杜教筛，复杂度仍然是 $O(n^\frac{2}{3})$

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#include <iostream>
#include <unordered_map>
#define maxn 1000010
#define ll long long
using namespace std;

const int p = 998244353;

int pri[maxn], mu[maxn], cnt; bool isp[maxn];
void init_isp(int n) {
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!isp[i]) pri[++cnt] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * pri[j] <= n; ++j) {
            isp[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) break;
            mu[i * pri[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) mu[i] += mu[i - 1]; 
}

unordered_map<int, int> _mu; const int N = 1000000;
int calc_mu(int n) {
    if (n <= N) return mu[n];
    if (_mu.find(n) != _mu.end()) return _mu[n];
    int ans = 1;
    for (ll l = 2, r; l <= n; l = r + 1) {
        r = n / (n / l);
        ans -= (r - l + 1) * calc_mu(n / l);
    }
    return _mu[n] = ans; 
}


int n, m; 


int main() { 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    cin >> n; init_isp(N); ll ans = 0;
    for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
        r = n / (n / l); ll v = n / l;
        ans = (ans + (calc_mu(r) - calc_mu(l - 1)) * v % p * v % p * v) % p;
    } cout << (ans + p) % p << "\n";
    return 0; 
}