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CF 856D Masha and Cactus

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/CF856D

简要题意：给定一棵 $n$ 个点的树以及 $m$ 条树上的链，每条链有一个价值，要求选择若干条链，使得每个点至多被包含在一个链中，且价值最大

$n,m\le 2\times 10^5$

Solution

我们将每条链扔到 $lca$ 上，然后做树形 $dp$

我们令 $f[u]$ 表示 $u$ 子树内已经选择完的最大价值，$g[u]=\sum f[v]$

如果 $u$ 点没有链，那么 $f[u]=g[u]$

如果 $u$​ 点有一条链，那么 $f[u]$​ 应该取 $g[u]+\sum g[v]-f[v]$​，其中 $v$​ 是这条链上的点

这个东西做一个差分后相当于区间加和单点查询，可以用树状数组实现

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <tuple>
#define maxn 200010
#define lowbit(i) ((i) & (-i))
using namespace std;

int n, m;

struct Edge {
    int to, next; 
} e[maxn * 2]; int c1, head[maxn];
inline void add_edge(int u, int v) {
    e[c1].to = v; e[c1].next = head[u]; head[u] = c1++;
}

int in[maxn], out[maxn], bl[maxn], dep[maxn], F[maxn][21];
void Dfs(int u, int fa) {
    static int cnt = 0; 
    in[u] = ++cnt; bl[cnt] = u;
    for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to; if (v == fa) continue;
        dep[v] = dep[u] + 1; F[v][0] = u; Dfs(v, u);
    } out[u] = cnt;
}

void init_lca() {
    for (int j = 1; j <= 20; ++j)
        for (int i = 1; i <= n; ++i) F[i][j] = F[F[i][j - 1]][j - 1];
}

int get_lca(int x, int y) {
    if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y); 
    for (int i = 20; ~i; --i)
        if (dep[F[x][i]] >= dep[y]) x = F[x][i];
    if (x == y) return x;
    for (int i = 20; ~i; --i)
        if (F[x][i] != F[y][i])
            x = F[x][i], y = F[y][i];
    return F[x][0];
}

vector<tuple<int, int, int>> A[maxn];

int Bit[maxn][2];
void add(int i, int v, int o) { while (i <= n) Bit[i][o] += v, i += lowbit(i); }

void update(int l, int r, int v, int o) { add(l, v, o); add(r + 1, -v, o); } 

int get_sum(int i, int o) {
    int s = 0;
    while (i) s += Bit[i][o], i -= lowbit(i);
    return s;
}

int f[maxn], g[maxn];
void dfs(int u, int fa) {
    for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to; if (v == fa) continue;
        dfs(v, u); g[u] += f[v];
    } f[u] = g[u];
    for (auto t : A[u]) {
        int x, y, w; tie(x, y, w) = t;
        f[u] = max(f[u], g[u] + get_sum(in[x], 1) + get_sum(in[y], 1) - get_sum(in[x], 0) - get_sum(in[y], 0) + w); 
    }
    update(in[u], out[u], f[u], 0); update(in[u], out[u], g[u], 1); 
}

int main() { fill(head, head + maxn, -1); 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        int x; cin >> x;
        add_edge(x, i);
    } dep[1] = 1; Dfs(1, 0); init_lca();
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int x, y, z; cin >> x >> y >> z;
        A[get_lca(x, y)].emplace_back(x, y, z);
    } dfs(1, 0); 
    cout << f[1] << "\n"; 
    return 0;
}