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Luogu P6054 [RC-02] 开门大吉

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P6054

简要题意：$n$ 个人参加比赛，共有 $m$ 套题，每套题有 $p$ 道题目，第 $i$ 个人答对第 $j$ 套题第 $k$ 道题目的概率为 $f_{i,j,k}$，需要注意一位选手只有答对第 $i$ 道题才能去答第 $i+1$ 题，如果一位选手答对第 $i$ 题，那么会在已得奖励的基础上再得 $c_i$ 元，现在还有 $y$ 条限制，每条限制形如第 $i$ 位选手的题目编号至少比第 $j$ 位选手大 $k$，现在需要给每个选手分配一套题目，同一套题目可以分配给多个选手，求期望奖励最少是多少

$n,m,p \le 80,y\le 1000$

Solution

首先我们令 $g[i][j]$ 表示第 $i$ 个人做第 $j$ 套题，显然这个东西非常好算

对于求最小，我们考虑一下最小割，现在我们考虑如何处理 $(i,j,k)$ 这样的限制

能够想到对于每个人应该将 $m$ 套题拆成对应的 $m$ 个点，然后用类似区间的做法串起来

大概就是 $(i,j)$ 连 $(i,j+1)$，容量为 $g[i][j]$，$s$ 连 $(i,1)$，容量为 $\infty$，$(i,m+1)$ 连 $t$，容量为 $\infty$

这个时候我们应当有一个猜测的连法，即对于 $(i,j,k)$，我们 $p\in[1-k,m+1-k]$，$(j,p)$ 连 $(i,p+k)$，容量为 $\infty$

但是这样我们发现限制关系不能传递，所以我们再连一种边，即 $(i,j+1)$ 连 $(i,j)$，容量为 $\infty$

所以总的建图如下：

$(i,j)$ 连 $(i,j+1)$，容量为 $g[i][j]$

$(i,j+1)$ 连 $(i,j)$，容量为 $\infty$

$s$ 连 $(i,1)$，容量为 $\infty$

$(i,m+1)$ 连 $t$，容量为 $\infty$

对于 $(i,j,k)$，我们 $p\in[1-k,m+1-k]$，$(j,p)$ 连 $(i,p+k)$，容量为 $\infty$

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#include <iostream>
#include <queue>
#include <iomanip>
#define maxn 7000
#define maxm 81
#define INF 1e9
using namespace std;

const double eps = 1e-6;

int n, m, p, k;

inline int id(int x, int y) { return (x - 1) * (m + 1) + y; } 

double f[maxm][maxm][maxm], g[maxm][maxm], c[maxm];

struct Edge {
    int to, next;
    double w;
} e[1000000]; int c1, head[maxn];
inline void add_edge(int u, int v, double w) {
    e[c1].to = v; e[c1].w = w;
    e[c1].next = head[u]; head[u] = c1++;
}

inline void Add_edge(int u, int v, double w) {
    add_edge(u, v, w); add_edge(v, u, 0);
}

int s, t, dep[maxn];
bool bfs() {
    fill(dep, dep + maxn, 0); dep[s] = 1; 
    queue<int> Q; Q.push(s);
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.front(); Q.pop();
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to; double w = e[i].w;
            if (w > eps && !dep[v]) {
                dep[v] = dep[u] + 1;
                if (v == t) return 1; Q.push(v);
            }
        }
    }
    return 0;
}

double dfs(int u, double _w) {
    if (u == t || _w < eps) return _w;
    double s = 0;
    for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to; double w = e[i].w;
        if (w > eps && dep[v] == dep[u] + 1) {
            double di = dfs(v, min(_w - s, w));
            e[i].w -= di; e[i ^ 1].w += di;
            s += di; if (s == _w) break;
        }
    }
    if (s < _w) dep[u] = 0;
    return s; 
}

double dinic() {
    double mf = 0; 
    while (bfs()) {
        mf += dfs(s, INF);
        if (mf > INF - 1) return mf;
    }
    return mf;
}

void work() { fill(head, head + maxn, -1); c1 = 0; 
    cin >> n >> m >> p >> k;
    for (int i = 1; i <= p; ++i) cin >> c[i];
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            for (int k = 1; k <= p; ++k) cin >> f[j][i][k];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            double mul = 1; g[i][j] = 0; 
            for (int k = 1; k <= p; ++k) {
                mul = mul * f[i][j][k];
                g[i][j] += mul * c[k];
            }
        }
    s = 0; t = n * (m + 1) + 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        Add_edge(s, id(i, 1), INF);
        Add_edge(id(i, m + 1), t, INF); 
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            Add_edge(id(i, j), id(i, j + 1), g[i][j]);
            Add_edge(id(i, j + 1), id(i, j), INF); 
        }
    }
    while (k--) {
        int x, y, z; cin >> x >> y >> z;
        for (int i = 1; i <= m + 1; ++i)
            if (1 <= i + z && i + z <= m + 1) Add_edge(id(y, i), id(x, i + z), INF);
    }
    double ans = dinic();
    if (ans > INF - 1) cout << "-1\n";
    else cout << fixed << setprecision(4) << ans << "\n"; 
} 

int main() { 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    int T; cin >> T;
    while (T--) work(); 
    return 0;
}