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Luogu P4068 [SDOI2016]数字配对

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P4068

Solution

我们注意到 $i$ 和 $j$ 能配对，不妨令 $i>j$，当且仅当 $i\bmod j == 0$ 并且 $\frac{i}{j}=p$

我们令 $d[i]$ 表示 $i$ 的素数个数，那么我们注意到第二个条件就变成了 $d[i]=d[j]+1$

那么我们可以按照 $d$ 的奇偶性搞一个二分图出来

建图：

$s$ 连 $u$，$cnt[u]$ 是偶数，容量为 $b[u]$，费用为 $0$

$u$ 连 $v$，$u$ 和 $v$ 可以配对，容量为 $\infty$，费用为 $c[u]\times c[v]$

$v$ 连 $t$，$cnt[v]$ 是奇数，容量为 $b[v]$，费用为 $0$

然后我们跑一个最大费用最大流，但是注意到我们要求的是在费用非负的情况下的最大流

由于每次最长路的值都在递减，所以我们可以直接贪心，最后一次最长路可以少流一点

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define maxn 210
#define ll long long
#define INF 1000000000
using namespace std;

int n, m;

int a[maxn], b[maxn], c[maxn], d[maxn];

struct Edge {
    int to, next, w; ll fi;
} e[1000000]; int c1, head[maxn];
inline void add_edge(int u, int v, int w, ll fi) {
    e[c1].to = v; e[c1].w = w; e[c1].fi = fi;
    e[c1].next = head[u]; head[u] = c1++;
}

inline void Add_edge(int u, int v, int w, ll fi) {
    add_edge(u, v, w, fi); add_edge(v, u, 0, -fi);
}

ll dis[maxn]; int la[maxn], pre[maxn], fl[maxn];
bool vis[maxn]; int s, t; 
bool spfa() {
    fill(dis, dis + maxn, 1e18); dis[s] = 0;
    fill(vis, vis + maxn, 0); vis[s] = 1;
    queue<int> Q; Q.push(s); pre[t] = -1; fl[s] = INF;
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.front(); Q.pop(); vis[u] = 0; 
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to, w = e[i].w; ll fi = e[i].fi;
            if (w > 0 && dis[v] > dis[u] + fi) {
                dis[v] = dis[u] + fi; pre[v] = u; 
                fl[v] = min(fl[u], w); la[v] = i;
                if (vis[v]) continue; vis[v] = 1;
                Q.push(v); 
            }
        }
    }
    return ~pre[t]; 
} 

int mf; ll mc;
int mcmf() {
    while (spfa()) {
        if (mc + dis[t] * fl[t] > 0) { mf += -mc / dis[t]; break; }
        mc += dis[t] * fl[t];
        mf += fl[t]; int now = t;
        while (now != s) {
            e[la[now]].w -= fl[t];
            e[la[now] ^ 1].w += fl[t];
            now = pre[now];
        }
    }
    return mf;
}

int main() { fill(head, head + maxn, -1); 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    cin >> n; s = 0; t = n + 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> b[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> c[i]; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int x = a[i];
        for (int j = 2; j * j <= x; ++j)
            while (x % j == 0) ++d[i], x /= j;
        if (x > 1) ++d[i]; 
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (d[i] & 1) { Add_edge(i, t, b[i], 0); continue; } 
        Add_edge(s, i, b[i], 0); 
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            if (a[j] % a[i] == 0 && d[j] == d[i] + 1)
                Add_edge(i, j, INF, (ll) -c[i] * c[j]);
            else if (a[i] % a[j] == 0 && d[i] == d[j] + 1)
                Add_edge(i, j, INF, (ll) -c[i] * c[j]); 
    }
    cout << mcmf() << "\n"; 
    return 0;
}