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牛客 contest 9680G 请问您要来点兔子吗

发表于 更新于 分类于
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题目描述

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9680/G

简要题意：给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_i$ 和 $k,l,r$，规定每连续的 $k$ 个位置至少选 $l$ 至多选 $r$，求选出的 $a_i$ 的和的最大值是多少

$\sum n \le 3\times 10^5$

Solution

首先考虑上界，我们利用最大流限制上界，因为限制跟区间相关，所以我们考虑将点串起来

然后我们考虑将上界的限制转换一下，我们区间看成点，这个时候区间的总点数为 $n-k+1$，那么如果选择点 $i$，相当于将区间 $[max\lbrace 1,i-k+1\rbrace,min\lbrace i,n-k+1\rbrace ]$ 都覆盖了一次，现在相当于选择若干个区间使得每个点被覆盖小于等于 $k$ 次，那么参照Luogu P3358 最长k可重区间集问题 容易得到下面的建图

建图：

$s$ 连 $1$，容量为 $r$，费用为 $0$

$i$ 连 $i+1$，$i\in[1,n-k+1]$，容量为 $r$，费用为 $0$

$max\lbrace 1,i-k+1\rbrace $ 连 $min\lbrace i,n-k+1\rbrace+1$，$i\in[1,n]$，容量为 $1$，费用为 $-a[i]$

$(n-k+1)+1$ 连 $t$，容量为 $r$，费用为 $0$

至于下界，仍然是将区间看成点，参照 Luogu P3980 [NOI2008]志愿者招募，将 $i$ 与 $i+1$ 的边的容量改成 $r-l$ 即可

总建图：

$s$ 连 $1$，容量为 $r$，费用为 $0$

$i$ 连 $i+1$，$i\in[1,n-k+1]$，容量为 $r-l$，费用为 $0$

$max\lbrace 1,i-k+1\rbrace $ 连 $min\lbrace i,n-k+1\rbrace+1$，$i\in[1,n]$，容量为 $1$，费用为 $-a[i]$

$(n-k+1)+1$ 连 $t$，容量为 $r$，费用为 $0$

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define maxn 1010
#define INF 1000000000
using namespace std;

int n, k, l, r, a[maxn];

struct Edge {
    int to, next, w, fi;
} e[1000000]; int c1, head[maxn];
inline void add_edge(int u, int v, int w, int fi) {
    e[c1].to = v; e[c1].w = w; e[c1].fi = fi;
    e[c1].next = head[u]; head[u] = c1++;
}

inline void Add_edge(int u, int v, int w, int fi) {
    add_edge(u, v, w, fi); add_edge(v, u, 0, -fi);
}

bool vis[maxn]; int s, t;
int la[maxn], pre[maxn], dis[maxn];
bool spfa() {
    fill(dis, dis + maxn, INF); dis[s] = 0;
    fill(vis, vis + maxn, 0); vis[s] = 1;
    deque<int> Q; Q.push_front(s); pre[t] = -1;
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.front(); Q.pop_front(); vis[u] = 0;
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to, w = e[i].w, fi = e[i].fi;
            if (w > 0 && dis[v] > dis[u] + fi) {
                dis[v] = dis[u] + fi; pre[v] = u; la[v] = i;
                if (vis[v]) continue; vis[v] = 1;
                if (Q.empty() || dis[v] <= dis[Q.front()]) Q.push_front(v);
                else Q.push_back(v);
            }
        }
    }
    return ~pre[t];
}
 
int mcmf() {
    int mf = 0, mc = 0; 
    while (spfa()) {
        int fl = INF; 
        for (int now = t; now; now = pre[now]) fl = min(fl, e[la[now]].w);
        for (int now = t; now; now = pre[now]) e[la[now]].w -= fl, e[la[now] ^ 1].w += fl;
        mc += fl * dis[t]; mf += fl;
    } return mc;
}

void work() { 
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    cin >> k >> l >> r; int m = n - k + 1;
    s = 0; t = m + 2;
    fill(head + s, head + t + 1, -1); c1 = 0;
    Add_edge(s, 1, r, 0); Add_edge(m + 1, t, r, 0); 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) Add_edge(max(1, i - k + 1), min(i, n - k + 1) + 1, 1, -a[i]);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) Add_edge(i, i + 1, r - l, 0); 
    cout << -mcmf() << "\n";
} 

int main() { 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    int T; cin >> T;
    while (T--) work(); 
    return 0;
}

当然如果你不喜欢将区间看成点来做，你也能得到一个类似的东西

建图：

$s$ 连 $1$，容量为 $r$，费用为 $0$

$i$ 连 $i+1$，$i\in[1,k-1]$，容量为 $\infty$，费用为 $0$

$i$ 连 $i+1$，$i\in[k,n]$，容量为 $r-l$，费用为 $0$

$i$ 连 $min\lbrace i+k,n+1\rbrace$，容量为 $1$，费用为 $-a[i]$

$n+1$ 连 $t$，容量为 $r$，费用为 $0$

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define maxn 1010
#define INF 1000000000
using namespace std;

int n, k, l, r, a[maxn];

struct Edge {
    int to, next, w, fi; 
} e[1000000]; int c1, head[maxn];
inline void add_edge(int u, int v, int w, int fi) {
    e[c1].to = v; e[c1].w = w; e[c1].fi = fi;
    e[c1].next = head[u]; head[u] = c1++;
}

inline void Add_edge(int u, int v, int w, int fi) {
    add_edge(u, v, w, fi); add_edge(v, u, 0, -fi);
}

int la[maxn], pre[maxn], fl[maxn], dis[maxn];
bool vis[maxn]; int s, t; 
bool spfa() {
    fill(vis, vis + maxn, 0); vis[s] = 1;
    fill(dis, dis + maxn, INF); dis[s] = 0;
    queue<int> Q; Q.push(s); pre[t] = -1; fl[s] = INF;
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.front(); Q.pop(); vis[u] = 0; 
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to, w = e[i].w, fi = e[i].fi;
            if (w > 0 && dis[v] > dis[u] + fi) {
                dis[v] = dis[u] + fi; pre[v] = u;
                fl[v] = min(fl[u], w); la[v] = i;
                if (vis[v]) continue; vis[v] = 1;
                Q.push(v);
            }
        }
    }
    return ~pre[t]; 
}

int mcmf() {
    int mc = 0, mf = 0;
    while (spfa()) {
        int now = t;
        mc += dis[t] * fl[t];
        mf += fl[t];
        while (now != s) {
            e[la[now]].w -= fl[t];
            e[la[now] ^ 1].w += fl[t];
            now = pre[now];
        }
    }
    return mc;
}

void init(int n) {
    fill(head, head + n + 1, -1); c1 = 0;
} 

void work() { 
    cin >> n; s = 0; t = n + 2; init(t); 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    cin >> k >> l >> r; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (i < k) Add_edge(i, i + 1, INF, 0);
        else Add_edge(i, i + 1, r - l, 0); 
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) Add_edge(i, min(i + k, n + 1), 1, -a[i]);
    Add_edge(s, 1, r, 0); Add_edge(n + 1, t, r, 0);
    cout << -mcmf() << "\n"; 
}

int main() { 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    int T; cin >> T;
    while (T--) work(); 
    return 0;
}