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Luogu P4209 学习小组

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P4209

简要题意：有 $n$ 个学生，$m$ 个学习小组，每个学生最多只能参加 $k$ 个学习小组且每个学生只能参加某些学习小组，学生参加第 $i$ 学习小组需要付出 $b_i$ 的代价，若有 $x$ 个学生参加第 $i$ 个学习小组，则能获得 $a_i\times x^2$ 的价值，求参与学生尽量多的情况下，最小付出多少支出

$n\le 100,k\le m\le 90$

Solution

注意到边的费用随着流量增加而增加，且增加的数值是单增的，所以我们考虑拆边

另外注意到最大流的要求不是参加每个学习小组的学生的个数总和，而是参加了学习小组的学生个数，这里我们的解决方案是再连一条 $i$ 到 $t$ 的容量为 $k-1$，费用为 $0$ 的边

建图：

$s$ 连 学生 $i$，容量为 $k$，费用为 $0$

学生 $i$ 连 $t$，容量为 $k-1$，费用为 $0$

学生 $i$ 连学习小组 $j$，容量为 $1$，费用为 $-b[j]$

学习小组 $j$ 连 $t$，共有 $n$ 条边，第 $i$ 条边容量为 $1$，费用为 $(2i-1)\times a_j$

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#define maxn 210
using namespace std;

int n, m, K, C[maxn], f[maxn];
int s, t;

struct Edge{
	int to, next, w, fi;
}e[100000]; int c1, head[maxn]; 
inline void add_edge(int u, int v, int w, int fi){
	e[c1].to = v; e[c1].w = w; e[c1].fi = fi;
	e[c1].next = head[u]; head[u] = c1++;
}

inline void Add_edge(int u, int v, int w, int fi){
	add_edge(u, v, w, fi); add_edge(v, u, 0, -fi);
}

int la[maxn], pre[maxn], dis[maxn], fl[maxn];
queue<int> Q; bool vis[maxn];
bool spfa(){
	memset(vis, 0, sizeof vis); memset(dis, 10, sizeof dis); memset(fl, 10, sizeof fl); 
	Q.push(s); vis[s] = 1; pre[t] = -1; dis[s] = 0;
	while(!Q.empty()){
		int u = Q.front(); Q.pop(); vis[u] = 0;
		for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next){
			int v = e[i].to, w = e[i].w, fi = e[i].fi;
			if(w > 0 && dis[v] > dis[u] + fi){
 				dis[v] = dis[u] + fi; fl[v] = min(fl[u], w); 
 				pre[v] = u; la[v] = i;
				if(vis[v]) continue; vis[v] = 1; Q.push(v);
			}
		}
	}
	return pre[t] != -1;
}
			
int mc, mf;
void mcmf(){
	while(spfa()){
		mf += fl[t]; 
		mc += fl[t] * dis[t]; 
		int now = t; 
		while(now != s){
			e[la[now]].w -= fl[t];
			e[la[now] ^ 1].w += fl[t];
			now = pre[now];
		}
	}
	cout << mc;
}

int main(){ memset(head, -1, sizeof head);
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &K); s = 0; t = n + m + 1;
	for(int i = 1; i <= m; ++i){
		scanf("%d", &C[i]);
		for(int j = 1; j <= n; ++j) 
			Add_edge(i + n, t, 1, (2 * j - 1) * C[i]);
	}
	for(int i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d", &f[i]);
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		char c[maxn]; scanf("%s", c + 1);
		Add_edge(s, i, K, 0); Add_edge(i, t, K - 1, 0);
		for(int j = 1; j <= m; ++j)
			if(c[j] == '1') 
				Add_edge(i, j + n, 1, -f[j]);
	}
	mcmf();
	return 0;
}