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Luogu P2764 最小路径覆盖问题

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题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P2764

简要题解：给定一张 $DAG$，求其最小路径覆盖

$n\le 150,m\le 6000$

Solution

我们考虑这样一个建图：

将原图中的所有点拆成两个点 $u$ 和 $u’$，对于原图中的有向边，$u$ 连 $v’$

然后我们考虑这张二分图的一条匹配，匹配中的每一条边都意味着原图两个路径并到了一起，即总路径数减一

所以我们要让匹配尽量大，也就是求最大匹配

至于输出方案，左边没有匹配上的点是一条路径的终点，右边没有匹配上的点是一条路径的起点

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define maxn 310
#define maxm 6010
#define INF 1000000000
using namespace std;

int n, m;

struct Edge {
    int to, next, w;
} e[2 * maxn + 2 * maxm]; int c1, head[maxn];
inline void add_edge(int u, int v, int w) {
    e[c1].to = v; e[c1].w = w; 
    e[c1].next = head[u]; head[u] = c1++;
}

inline void Add_edge(int u, int v, int w) {
    add_edge(u, v, w); add_edge(v, u, 0);
}

int dep[maxn], s, t;
bool bfs() {
    fill(dep, dep + maxn, 0); dep[s] = 1; 
    queue<int> Q; Q.push(s);
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.front(); Q.pop();
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to, w = e[i].w;
            if (w > 0 && !dep[v]) {
                dep[v] = dep[u] + 1;
                Q.push(v); if (v == t) return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int dfs(int u, int _w) {
    if (u == t || !_w) return _w;
    int s = 0;
    for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to, w = e[i].w;
        if (w > 0 && dep[v] == dep[u] + 1) {
            int di = dfs(v, min(_w - s, w));
            e[i].w -= di; e[i ^ 1].w += di;
            s += di; if (s == _w) break; 
        }
    }
    if (s < _w) dep[u] = 0;
    return s;
}

int mf;
void dinic() {
    while (bfs()) mf += dfs(s, INF); 
}

int nxt[maxn];
int main() { fill(head, head + maxn, -1); 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    cin >> n >> m; s = 0; t = 2 * n + 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        Add_edge(s, i, 1), Add_edge(i + n, t, 1);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int x, y; cin >> x >> y;
        Add_edge(x, y + n, 1);
    } dinic(); vector<int> ans;
    for (int u = 1; u <= n; ++u) {
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to, w = e[i].w;
            if (v != s && !w) nxt[u] = v - n; 
        }
        for (int i = head[u + n]; ~i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to, w = e[i].w;
            if (w && v == t) ans.push_back(u);
        }
    } 
    for (auto u : ans) {
        while (u) cout << u << " ", u = nxt[u];
        cout << "\n"; 
    } cout << n - mf << "\n";
    return 0;
}