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CF 1440D Graph Subset Problem

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题目描述

https://codeforces.com/contest/1440/problem/D

Solution

首先考虑能否求出一个合法的子集

那么显然就是把所有度数小于 $k$ 的点都删掉，如果还有点剩下，那么这些点就是合法的一个集合

现在我们考虑如何求一个大小为 $k$ 的团，首先如果 $\frac{k(k-1)}{2}>m$ 则一定不存在这样的团

我们考虑在删点过程中只找度数为 $k-1$ 的点，遍历它的所有出边，然后 $O(k^2)$ 判断这些点能否组成一个团

因为如果存在大小为 $k$ 的团，我们会在求子集的时候考虑，否则如果只存在大小为 $k$ 的团，则在删点的过程中一定能找到至少一个度数为 $k-1$ 的点

大致证明如下，如果所有点的度数都大于 $k-1$，则不会被删

否则它最多被删到度数为 $k-1$

注意到如果一个度数为 $k-1$ 的点不能组成团，一定要把它删掉

这样的做的复杂度为 $O(\frac{m}{k}k^2)=O(mk)$

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define maxn 100010
#define pb push_back 
using namespace std;

int n, m, k;

struct Edge {
    int to, next;
} e[maxn * 2]; int c1, head[maxn], du[maxn];
inline void add_edge(int u, int v) {
    e[c1].to = v; e[c1].next = head[u]; head[u] = c1++;
}

vector<int> E[maxn];
bool check(vector<int> &a) { // 事实证明 vector 跑的最快
    for (auto u : a) 
        for (auto v : a) {
            if (u == v) break; 
            if (!binary_search(E[u].begin(), E[u].end(), v)) return 0;
        }
    return 1;
}

int vis[maxn];
void init() {
    memset(head, -1, sizeof head); 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) head[i] = -1, E[i].clear(), du[i] = vis[i] = 0;
    c1 = 0; 
} 

void work() { 
    cin >> n >> m >> k; init(); 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int x, y; cin >> x >> y;
        add_edge(x, y); add_edge(y, x);
        ++du[x]; ++du[y];
        E[x].pb(y); E[y].pb(x); 
    } queue<int> Q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        sort(E[i].begin(), E[i].end());
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        if (du[i] < k) Q.push(i);
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.front(); Q.pop(); vis[u] = 1;
        if (du[u] == k - 1 && 1ll * k * (k - 1) / 2 <= m) {
            vector<int> clique = { u };
            for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
                int v = e[i].to; if (vis[v]) continue;
                clique.pb(v);
            } 
            if (check(clique)) {
                cout << 2 << "\n";
                for (auto u : clique) cout << u << " ";
                cout << "\n"; return ;
            }
        }
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to; 
            if (--du[v] == k - 1) Q.push(v);
        }
    }
    int s = 0; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) s += du[i] >= k;
    if (s) {
        cout << 1 << " " << s << endl;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            if (du[i] >= k) cout << i << " ";
        cout << "\n"; return ; 
    }
    cout << "-1\n";
} 

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    int T; cin >> T;
    while (T--) work(); 
    return 0;
}