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校内赛 T4 算法入门

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题目描述

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for (int i = 1; i < n; ++i)
    if (a[i] > a[i + 1]) swap(a[i], a[i + 1]);

现在有一个长度为 $n$ 的数列，有 $m$ 此操作，每次操作交换 $a[x]$ 和 $a[x+1]$ 或者输出第 $k$ 执行以上冒泡排序代码过程中成功 $swap$ 的次数

$n,m\le 10^6$，其中数列中的元素互不相同

Solution

首先比较直接的是，整个数列一共需要交换逆序对次就能变的有序

我们考虑如何计算还剩多少次交换才能使数列有序，即计算逆序对的数量

我们定义 $f_i=\sum_{j=1}^i [a_j>a_i]$，整个数列的逆序对数位 $\sum_{i=1}^n f_i$

我们考虑每次进行冒泡排序对 $f$ 的影响是什么

首先对于不会发生移动的数，它的 $f$ 值一定为 $0$，所以我们不需要考虑

对于发生移动的数，他一定是向前移动一位，且它前面一个比它大的数跑到了他的后面

所以 $f_i=f_{i+1}-1$

在交换 $x$ 轮之后，$f$ 整个左移 $x$ 位，且都减少了 $x$

所以对于原 $f$，在交换 $x$ 之后我们需要统计的是 $\sum f_i[fi>x]-x\sum [f_i >x]$

由于左移消失的前 $x$ 个 $f$ 的值一定小于 $x$，所以我们不需要考虑左移

上面那个东西可以直接拿两个树状数组维护

时间复杂度 $O(n\log n)$

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <queue>
#define gc getchar
#define maxn 1000010
#define cQ const Queue
#define INF 1000000000
#define ll long long
#define lowbit(i) ((i) & (-i))
using namespace std;

int read() {
    int x = 0; char c = gc();
    while (!isdigit(c)) c = gc();
    while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = gc();
    return x;
}

int n, m, a[maxn];

int s[maxn]; 

int b[maxn], cnt; 
void init_hash() {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = a[i];
    sort(b + 1, b + n + 1); cnt = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = lower_bound(b + 1, b + cnt + 1, a[i]) - b;
} 

struct Bit { 
    int Bit[maxn], n;
    
    inline void add(int i, int v) { i++; while (i <= n) Bit[i] += v, i += lowbit(i); }

    inline ll get_sum(int i) {
        ll s = 0; i++;
        while (i) s += Bit[i], i -= lowbit(i);
        return s;
    }

    void clear() {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) Bit[i] = 0;
    } 
} B1, B2; 

ll sum; 
inline void solve_1() {
    int x = read();
    if (a[x] > a[x + 1]) {
        B1.add(s[x + 1], -s[x + 1]); B2.add(s[x + 1], -1);
        --s[x + 1]; --sum;
        B1.add(s[x + 1], s[x + 1]); B2.add(s[x + 1], 1); 
    }
    else {
        B1.add(s[x], -s[x]); B2.add(s[x], -1);
        ++s[x]; ++sum; 
        B1.add(s[x], s[x]); B2.add(s[x], 1);
    }
    swap(s[x], s[x + 1]); swap(a[x], a[x + 1]); 
}

inline ll calc(int x) {
    int z = B1.get_sum(x), y = B2.get_sum(x); 
    return sum - B1.get_sum(x) - x * (n - B2.get_sum(x));
}

inline void solve_2() {
    int x = read(), y = calc(x - 1); 
    printf("%d\n", calc(x - 1) - calc(x)); 
}

int main() {
    cin >> n >> m; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
    init_hash(); B1.n = cnt + 1; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        s[i] = i - 1 - B1.get_sum(a[i] - 1);
        B1.add(a[i], 1); sum += s[i]; 
    } B1.clear(); B1.n = B2.n = n + 1; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) B1.add(s[i], s[i]), B2.add(s[i], 1); 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int opt = read();
        if (opt == 1) solve_1();
        else solve_2();
    } 
    return 0;
}